Reseña del libro "El Pensamiento Lógico-Matemático (Historia del Pensamiento y la Cultura)"
El pensamiento lógico-matemático reúne una serie de aspectos recurrentes que son identificables a lo largo de su historia. Desde los resultados incipientes de la aritmética pitagórica y de la geometría euclídea, hasta los desarrollos modernos de los correspondientes sistemas abstractos de la aritmética de Peano-Gödel y de la geometría de Hilbert, las ciencias deductivas exhiben una tradición de pensamiento sólidamente fundada en el valor epistémico de la prueba clásica. Esta progresión no ha estado exenta de crisis abruptas y convulsas derivadas de la tensión que origina el intento de expandir el conocimiento, como cuando un nuevo descubrimiento matemático pone en entredicho lo que hasta entonces era considerado verdadero. Paradojas tales como la derivada del descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado de un cuadrado en los tiempos pitagóricos, o las derivadas del descubrimiento de algunas contradicciones en la moderna teoría de conjuntos, dan cuenta también de esta tensión.ÍndiceIntroducción, 7I. El marco metalingüístico de la lógica de las ciencias deductivas, 13Lenguaje objeto y metalenguaje, 13Proposiciones, 14La relación de consecuencia lógica entre las proposiciones, 15Irrelevancia de los valores de verdad con respecto a la consecuencia lógica, 16Súper-implicación y equivalencia lógica, 17La negación, 18Inconsistencia lógica, 19Suficiencia e insuficiencia de información en un conjunto de premisas, 20Estableciendo la invalidez lógica: el método de las re-interpretaciones, 22II. Hipótesis; comprensión y juicio de las proposiciones matemáticas Hipótesis, 25La distinción óntico-epistémico-doxástica en el dominio de las proposiciones, 27III. El método deductivo y el método hipotético-deductivo: pruebas, deducciones, falacias y paradojas, 31Argumentos y argumentaciones, 31La deducción como procesamiento de información, 32Deducciones y pruebas, 34Paradojas, 36Ejemplos de argumentaciones deductivas e hipotético-deductivas para determinar la verdad o la falsedad de una hipótesis, 36Más heurística, 38Falacias que pueden contaminar los métodos, 39Las argumentaciones son relativas a sus participantes. El caso del teorema de Cantor y de la paradoja de Russell, 40IV. Sobre las relaciones entre la lógica, la matemática y la lógica matemática, 43Las pruebas de la matemática son los datos que preceden a la ciencia de la lógica, 43La lógica como la ciencia de todas las ciencias, 44Sobre la matematización de la lógica, 46Los productos de la lógica matemática, 46Una lógica matemática y sus partes, 47Lógica de primer orden con identidad, 48Metalógica de primer orden, 53Limitaciones expresivas de los lenguajes de primer orden, 56Categoricidad y equivalencia elemental, 57Lógica de segundo orden, 58V. Aplicaciones elementales: aritmética y teoría de conjuntos, 63Las ciencias matemáticas y su reconstrucción lógica, 63Conceptos primitivos y axiomas, 64Conceptos derivados y definiciones, 64Definibilidad formal y semántica, 65Derivaciones formales, 66La aritmética de Gödel, 67Indefinibilidad de la verdad (Tarski, 1933), 70Teoría de conjuntos de primer orden de Zermelo-Fraenkel, 71VI. La práctica; heurística y apodíctica en fragmentos de ciencias deductivas, 77La práctica demostrativa, 77Determinación de la validez y de la invalidez en fragmentos de teorías deductivas, 78Bibliografía, 95
